Mengenal Fungsi dalam Matematika Kalkulus

PENGERTIAN

Fungsi dalam matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range ).

Pada fungsi, terdapat beberapa istilah penting, di antaranya:

– Domain yaitu daerah asal fungsi f dilambangkan dengan Df.

– Kodomain yaitu daerah kawan fungsi f dilambangkan dengan Kf.

– Range yaitu daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari kodomain. Range fungsi f dilambangkan dengan Rf.

SIFAT-SIFAT FUNGSI

1. FUNGSI INJEKTIF

Disebut fungsi satu-satu . Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f:A→B adalah fungsi injektif apabila a ≠ b berakibat f(a) ≠ f(b) atau ekuivalen, jika f(a) = f(b) maka akibatnya a = b.

2. FUNGSI SURJEKTIF

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain Bterdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

3. FUNGSI BIJEKTIF

Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A dan B berada dalam korespondensi satu-satu”.

JENIS-JENIS FUNGSI

1. FUNGSI LINEAR

Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a ≠ 0 disebut fungsi linear

2. FUNGSI KONSTAN

Misalkan f:A→B adalah fungsi di dalam A maka fungsi f disebut fugsi konstan jika dan hanya jika jangkauan dari f hanya terdiri dari satu anggota.

3. FUNGSI IDENTITAS

Misalkan f:A→B adalah fungsi dari A ke B maka f disebut fungsi identitas jika dan hanya jika range f = kodomain atau f(A)=B.

4. FUNGSI KUADRAT

Fungsi f: R→R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a,b,c ∈ R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat.

JENIS-JENIS FUNGSI MATEMATIKA

1. FUNGSI INJEKTIF

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).

Fungsi injektif (satu-satu)

2. FUNGSI SURJEKTIF

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu adalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

Fungsi surjektif (onto)

3. FUNGSI BIJEKTIF

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

Fungsi bijektif (korespondensi satu-satu)

Suatu fungsi yang bersifat injektif sekaligus surjektif disebut fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.

4. FUNGSI INVERS

Jika fungsi f memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan berurutan f={(x,y)|x∈A dan y∈B}, maka invers fungsi f (dilambangkan f⁻¹) adalah relasi yang memetakan B ke A, dalam pasangan berurutan dinyatakan dengan f⁻¹={(y,x)|y∈B dan x∈A}.
Dapat ditulis: jika y=f(x), maka inversnya x=f⁻¹(y)

Cara menentukan fungsi invers dari fungsi awalnya

Suatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f⁻¹ jika dan hanya jika fungsi f bijektif atau dalam korespondensi satu-satu. Misalkan, f merupakan fungsi dari A ke B, maka f⁻¹ merupakan fungsi invers f jika berlaku (f−1∘f)(x)=x dan (f∘f−1)(x)=x. Perhatikanlah gambar di bawah ini.

Langkah-langkah menentukan fungsi invers:

1. Buatlah permisalan f(x)=y pada persamaan.

2. Selesaikan persamaan sehingga diperoleh x sebagai fungsi y atau x=f⁻¹(y).

3. Ganti variabel y dengan x pada f−1(y) sehingga diperoleh f⁻¹(x)=y sebagai fungsi invers dari y=f(x).

5. FUNGSI KOMPOSISI

Suatu Fungsi f dengan daerah asal Df dan daerah hasil Rf dan fungsi g dengan daerah asal Dg dan daerah hasil Rg untuk “f komposisi g” dilambangkan f o g = {(x,y) | x ε Dg, y ε Rf dan y = f(g(x))} dimana Dg ∩ Rf ≠ Ø .

Contoh :

f(x) = 2x + 5 dan g(x) = x2 – 1, maka

f o g (x) = 2 (x2 – 1) + 5 = 2x2 – 2 + 5 = 2x2 + 3

g o f (x) = (2x+5)2 – 1 = 4x2 + 20x + 25 – 1 = 4x2 + 20x + 24

Kata kunci :

# f o g (x) artinya untuk setiap variable fungsi f disubtitusikan dengan fungsi g(x)

# g o f (x) artinya untuk setiap variable fungsi g disubtitusikan dengan fungsi f(x)

6. FUNGSI EKSPONENSIAL

Salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau ex, dimana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183.

Fungsi eksponensial (merah) terlihat hampir mendatar horizontal (naik secara sangat perlahan) untuk nilai x yang negatif, dan naik secara cepat untuk nilai x yang positif.

Sebagai fungsi variabel bilangan real x, grafik ex selalu positif (berada di atas sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut secara asimptotik. Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), didefinisikan untuk nilai x yang positif.

Secara umum, variabel x dapat berupa bilangan real atau bilangan kompleks, ataupun objek matematika yang lain

7. FUNGSI LINIER

fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu. Sesuai namanya, setiap persamaan linier apabila digambarkan akan menghasilkan sebuah garis lurus.

Bentuk umum persamaan linier adalah :

y = a + bx

dimana a adalah penggal garisnya pada sumbu vertikal y, sedangkan b adalah koefisien arah atau gradien garis yang bersangkutan.

Misalkan diketahui titik A(2,3) dan titik B(6,5), maka persamaan liniernya:

4y -12 = 2x – 4, 4y = 2x+ 8 , y = 2 + 0,5 x

Cara koordinat-lereng

Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x1,y1) dan lereng garisnya b, maka persamaan liniernya adalah :

Contoh Soal :

Andaikan diketahui bahwa titik A(2,3) dan lereng garisnya adalah 0,5 maka persamaan linier yang memenuhi kedua persamaan kedua data ini adalah

8. FUNGSI KUADRAT

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) = ax2 + bx + c, dengan a ≠ 0

Sumbu simetri : x = -b/(2a)

Nilai maksimum y = -D/(4a), hanya berlaku jika a < 0

Nilai minimum y = -D/(4a), hanya berlaku jika a > 0

Koordinat titik puncak (-b/(2a), -D/(4a))

Menyusun fungsi kuadrat

1. Fungsi kuadrat yang melalui titik (a, 0) dan (b, 0) adalah

y = a(x - a)(x - b)

2. Fungsi kuadrat yang memiliki koordinat puncak (a, b) adalah

y - b = a(x - a)2

Sifat-sifat koefisien fungsi kuadrat :

a> 0 è parabola membuka ke atas

a < 0 è parabola membuka ke bawah

c > 0 è parabola memotong sumbu y positif

c < 0 è parabola memotong sumbu y negatif

c = 0 è parabola melalui (0, 0)

Diskriminan , D = b2 – 4ac

D > 0 parabola memotong sumbu x di dua titik

D = 0 parabola menyinggung sumbu x

D < 0 parabola tidak memotong sumbu x

Contoh:

Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x,y) = 2x + Sy

dengan syarat : x + 2y £ 4

x- y£ 4

x ³ 1

y ³ -1

Langkah :
-Buatlah poligonalnya dan tentukan titik ekstrimnya.

-Sesuai dengan contoh sebelumnya titik ekstrimnya adalah

A(1,-1) ; B(3,-1) ; C(4,0) ; D(1, 3/2 )
-Hitung nilai f(x,y) = 2x + 5y pada masing-masing titik ekstrimnya

f(A) = f(1,-1) = 2(1) + 5(-1) = -3

f(B) = f(3,-1) = 2(3) + 5(-1) = 1

f(C) = f (4, 0) = 2(4) + 5(0) = 8

f(D) = f (1, ; ) = 2(1) + 5( 3/2 ) = 9 1/2

Maka f(x,y) = 2x + Sy dengan batasan di atas mempunyai

- Nilai maksimum = 9 1/2 yang dicapai pada titik D (1, 3/2).

- Nilai minimum = -3 yang dicapai pada titik A (1,-1).

9. FUNGSI LIMIT

Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika x dekat pada p. Dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L ketika x juga mendekat menuju p. Lebih jauh lagi, bila f diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat padap, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsif dikatakan tidak memiliki limit.

Syarat Agar Invers Suatu Fungsi Merupakan Fungsi

Apabila fungsi g dibalik, maka diperoleh relasi R₁. Relasi R₁ disebut invers (kebalikan) fungsi g. Apakah relasi R₁ merupakan fungsi? Selanjutnya perhatikan fungsi f dengan f : A → B pada gambar (ii). Apabila fungsi f dibalik, maka diperoleh relasi R₂. Relasi R₂merupakan invers fungsi f. Apakah relasi R₂ merupakan fungsi.

Pada relasi R₁, ada anggota B yang tidak memiliki pasangan di A. Sehingga relasi R₁ bukan merupakan fungsi. Sedangkan pada relasi R₂, semua anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A, sehingga relasi R₂ merupakan fungsi. Fungsi R₂ ini selanjutnya disebut sebagai fungsi invers dari f, atau dituliskan f ^-1. Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa f ^-1 ada apabila f dalam keadaan berkorespondensi satu-satu atau f adalah bijektif.

Apabila kita lihat contoh kasus di awal, fungsi “memiliki NIK” merupakan fungsi korespondensi satu-satu, sehingga inversnya merupakan fungsi invers. Invers dari fungsi “memiliki NIK” adalah fungsi “merupakan NIK yang dimiliki oleh”. Domain dari fungsi invers ini adalah daftar NIK, sedangkan kodomainnya adalah daftar orang-orang yang berusia di atas 17 tahun.

Jadi, harap dibedakan antara invers fungsi dan fungsi invers. Setiap fungsi memiliki invers, tetapi hanya fungsi yang berkorespondensi satu-satu yang mempunyai fungsi invers. Untuk lebih memahami mengenai fungsi invers, perhatikan contoh soal berikut!

Contoh Soal

Perhatikan gambar dari diagram panah fungsi f, dengan f : P → Q, berikut.